VÀNH CHIA TUYẾN TÍNH
Mai Hoàng Biên1, Bùi Xuân Hải2
1Khoa Khoa học cơ bản, Đại học Kiến Trúc Thành Phố Hồ Chí Minh
2Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên-ĐHQG Tp. HCM
 

    Tóm tắt

Cho D là vành chia với tâm F và ký hiệu D* là nhóm nhân của D. D được gọi là vành chia hữu hạn tâm nếu D là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên F và D là hữu hạn tâm địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của D đều sinh ra trên F một vành chia con hữu hạn chiều trên F. Ta nói D là vành chia tuyến tính nếu mọi tập con hữu hạn của D đều sinh ra trên F một vành chia con hữu hạn tâm. Hiển nhiên mọi vành chia hữu hạn tâm địa phương đều là vành chia tuyến tính. Báo cáo này chứng tỏ điều ngược lại không đúng bằng cách xây dựng ví dụ một vành chia tuyến tính nhưng không hữu hạn tâm địa phương. Tiếp theo, báo cáo trình bày một số tính chất của các nhóm con trong vành chia tuyến tính. Nói riêng, mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của vành chia tuyến tính đều nằm trong tâm. Một hệ quả thú vị được rút ra là: Nếu D là vành chia tuyến tính và D* là nhóm hữu hạn sinh thì D là trường hữu hạn.

 

 

LINEAR DIVISION RINGS
Mai Hoàng Biên1, Bùi Xuân Hải2
1Department of Basic Sciences, University of Architecture of Ho Chi Minh City
2Faculty of Mathematics and Informatics, University of Science-VNU HCMC
 

        Abstract

Let D be a division ring with the center F and suppose that D* is the multiplicative group of D. D is called centrally finite if D is a finite dimensional vector space over F and D is locally centrally finite if every finite subset of D generates over F a division subring which is a finite dimensional vector space over F. We say that D is a linear division ring if every finite subset of D generates over F a centrally finite division subring. It is obvious that every locally centrally finite division ring is linear. In this report we show that the inverse is not true by giving an example of a linear division ring which is not locally centrally finite. Further, we give some properties of subgroups in linear division rings. In particular, we show that every finitely generated subnormal subgroup in a linear ring is central. An interesting corollary is obtained as the following: If D is a linear division ring and D* is finitely generated, then D is a finite field.