PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP KHÔNG THUẦN NHẤT: SỰ TỒN TẠI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM

Võ Giang Giai , Nguyễn Thành Long

Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên

Tóm tắt

Báo cáo đề cập đến bài toán giá trị biên-đầu cho phương trình sóng tuyến tính

 (1)      

trong đó   là các hằng số trước và  là các hàm số cho trước, ẩn hàm  và giá trị biên chưa biết  thoả một phương trình tích phân phi tuyến

(2)       

trong đo  là các hằng số trước và  là các hàm số cho trước.

Trong báo cáo này, chúng tôi xét ba phần. Trong phần 1, chúng tôi chứng minh một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu  của bài toán (1), (2). Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật compact yếu. Trong trường hợp  chúng tôi thu được trong phần 2 dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi  Sau cùng ở phần 3, chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (1), (2)  đến cấp  theo bốn tham số bé

Faculty of Mathematics and Infomatics, University of Natural Science

Abstract

 The report deals with the initial-boundary value problem for the linear wave equation

(1)       

where  are given constants and are given functions, the unknown function  and the unknown boundary value satisfy the following nonlinear integral equation

(2)       

where  are given constants and  are given functions.

In this report, we consider three main parts. In Part 1 we prove a theorem of global existence and uniqueness of a weak solution  of problem (1), (2). The proof is based on a Galerkin method associated to a priori estimates, weak-convergence and compactness techniques. In the case of  Part 2 is devoted the study of the asymptotic behavior of the solution  as  Finally, in Part 3 we obtain an asymptotic expansion of the solution  of the problem (1), (2) up to order  in four small parameters