ĐIỂM TỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHÔNG THUỘC LỚP C²

 

Dương Minh Đức, Trần Vĩnh Hưng, Nguyễn Tiến Khải

Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên

 

Tóm tắt

 

Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng flows cho trong không gian định chuẩn. Áp dụng nó chúng tôi đã mở rộng những kết quả quan trọng của Gromoll, Meyer, Morse và Palais.

Palais đã chứng minh bổ đề Morse-Palais cho những hàm số thuộc lớp C³. Kết quả này được mở rộng cho những hàm số thuộc lớp C² bởi Kuiper. Gần đây Li, Li và Liu đã đưa ra một dạng mới của bổ đề Morse-Palais cho những lớp hàm không thuộc C². Tuy nhiên những hàm số này thuộc lớp C² trên tập trù mật. Chúng tôi chứng minh được bổ đề Morse-Palais không cần tính C² của hàm số, tính đầy đủ của không gian và có thể áp dụng cụ thể cho hàm số sau :

           J(x,y)  = x² – y² + (1/40) . (x²+y²)⁵. sin(1/(x²+y²)²)    với mọi (x,y) Î R²\(0,0)

           J(0,0)  = 0.

 

 

 

 

CRITICAL POINTS OF NON-C² FUNCTIONALS

 

 Duong Minh Duc, Tran Vinh Hung, Nguyen Tien Khai

Faculty of Mathematics – Informatics, University of Natural Sciences

 

Abstract

 

In this present article, we establish flows on nomed spaces. Apply it we extend the ỉmportant result of Groll, Myer, Morse and Palais.

Palais proved the Morse-Palais lemma for C³ functions. This result was extented for C² functions by Kuiper. Recently Li, Li and Liu obtained a version of Morse-Palais lemma without the C²-smoothness. But the functions studied are of C² functions in some sense. We prove Morse-Palais lemma, which does not request the C²-smoothness neither the completeness of the spaces and is applicable to the following function:

           J(x,y)  = x² – y² + (1/40) . (x²+y²)⁵. sin(1/(x²+y²)²)    for all (x,y) Î R²\(0,0)

           J(0,0)  = 0.

 

Reference:

[1] K.C.Chang, Infinite Dimensional Morse Theory and Multiple Solution Problems, Birkhauser (1993).

[2] D.M.Duc, Nonlinear singular elliptic equations, London Math.Soc.40 (1989), pp.420-440.

[3] D.M.Duc, T.V.Hung, N.T.Khai , Critical points of non-C2 functionals, Topolog method, preprint.

[4] R.S.Palais, Morse theory on Hilbert manifolds, Topology, 2 (1963), pp.299-340.

[5] C.Li, S.Li and J.Liu, Splitting theorem, Pointcare-Hopf  theorem and jumping nonlinear problems, Functional analysis, 221 (2005), pp. 439-455.