BỔ ĐỀ MORSE-PALAIS CHO CÁC HÀM KHÔNG TRƠN

TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

 

Dương Minh Đức, Trần Vĩnh Hưng, Nguyễn Tiến Khải

Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên

 

Tóm tắt

 

            Trong bài báo này của chúng tôi, chúng tôi có gắng tìm một dạng mới đặc biệt cho bổ đề Morse – Palais cho những bài toán tương tự như bài toán (P) sau:

 -Du - lu = f(x,u)                          xÎ W.

mà không yêu cầu tính khả vi C¹ của hàm số và tính đầy đủ của không gian.

            Bổ đề Morse – Palais của chúng tôi mạnh hơn tất cả những kết quả cổ điển trước đó ngay cả trong trường hợp không gian định chuẩn hữu hạn chiều và có thể áp dụng cho hàm sau đây:

J(x,y) = x² - y² + |x|^3/2    với mọi (x,y) Î R²

 

 

 

MORSE – PALAIS LEMMA FOR NONSMOOTH FUNCTIONALS

 ON NORMED SPACES

 

Duong Minh Duc, Tran Vinh Hung, Nguyen Tien Khai

Faculty of Mathematics – Informatics, University of Natural Sciences

 

Abstract

 

            In this present article, we try to find a special version of Morse – Palais lemma for problems similar to (P) as the following:

 -Du - lu = f(x,u)                          xÎ W.

in which we do not require the C¹-smoothness of functions nor the completeness of spaces.

            Our Morse – Palais lemma is stronger than the classical one even in the case of finite-dimensional normed spaces and is applicable to the following function:

J(x,y) = x² - y² + |x|^3/2    for all (x,y) Î R²

 

 

Reference:

[1] K.C.Chang, Infinite Dimensional Morse Theory and Multiple Solution Problems, Birkhauser (1993).

[2] D.M.Duc, Nonlinear singular elliptic equations, London Math.Soc.40 (1989), pp.420-440.

[3] D.M.Duc, T.V.Hung, N.T.Khai, Morse – Palais lemma for nonsmooth functionals on normed spaces, Proceeding of the American Mathematical Society, preprint.

[4] R.S.Palais, Morse theory on Hilbert manifolds, Topology, 2 (1963), pp.299-340.