NHÓM VỚI NHIỀU NHÓM CON THỎA ÐIỀU KIỆN SUBNORMALISER

Bùi Xuân Hải, Tống Viết Phi Hùng

Trường Ðại học Khoa học Tự Nhiên - ÐHQG Tp.HCM

Tóm tắt:

Cho D là một nhóm con của nhóm G. Khi đó D được gọi là thỏa điều kiện subnormaliser trong G nếu với mọi nhóm con K của G, từ điều kiện D chuẩn tắc trong K luôn kéo theo D chuẩn tắc trong N_G(K).

Trong báo cáo này, chúng tôi đưa ra một vài đặc trưng của các nhóm chỉ chứa các nhóm con thỏa điều kiện subnormaliser. Hơn nữa, chúng tôi cũng chứng minh được một mối quan hệ chặt chẻ giữa tính đa chuẩn tắc và điều kiện subnormaliser. Cụ thể, chúng tôi có các kết quả sau:

Ðịnh lý 1. Cho D là một nhóm con của nhóm G. Khi đó D là đa chuẩn tắc trong G khi và chỉ khi mọi nhóm con trung gian D-đầy đủ của G đều thỏa điều kiện subnormaliser.

Ðịnh lý 2. Quan hệ chuẩn tắc trong nhóm G có tính bắc cầu khi và chỉ khi mọi nhóm con của G đều thỏa điều kiện subnormaliser trong G.

Các kết quả trên đã được áp dụng để nghiên cứu một số tính chất của lớp các nhóm con polynormal.

GROUPS WITH MANY SUBGROUPS SATISFYING THE SUBNORMALISER CONDITION

Bui Xuan Hai, Tong Viet Phi Hung

University of Natural Sciences - VNU.HCM

Abstract:

Let D be a subgroup of a group G. Then D is said to satisfy the subnormaliser condition in G if for every subgroup K of G, from the condition that D is normal in K, it follows D is normal in N_G(K).

In this report, some characterizations of groups with only subgroups satisfying the subnormaliser condition are given. Further, a close relationship between the polynormality and the subnormaliser condition of subgroups is proven. In fact, we obtain:

Theorem 1. Let D be a subgroup of a group G. Then D is polynormal in G if and only if every D -complete intermediate subgroup of G satisfies the subnormalise condition.

Theorem 2. The normality is a transitive relation in a group G if and only if every subgroup of G satisfies the subnormaliser condition in G.

From these two results, some important applications for polynormal subgroups are given